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《计量技术》 2001.6（总第322期） 理论与实验 PP3-5

轴对称曲线对称轴的数值计算方法

龚建伟，黄文宇，陆际联

（北京理工大学机器人研究中心，北京 100081）

摘 要 利用转动惯量对于坐标轴平移或旋转的不变性，以及轴对称曲线的转动惯量在对称轴及其垂线方向取得极值的特性，提出一种用于求解轴对称曲线的对称轴线的极小惯量数值计算方法。对算法原理进行了理论分析，仿真数据处理和实验数据处理验证了算法的正确性和有效性。

关键词 对称性；极小惯量法；数据处理

对称性是事物的一种常见的重要特性，在测量技术中是很多被测物理量定义的基础。在实际的测量应用中，由于测量方法的各种限制，待测对象的对称轴可能无法直接得到或直接加以应用，最常见的是实际测量坐标系和根据对称性定义的被测对象的计算坐标系之间存在偏差。例如，在一个光学人体尺寸测量系统中，实际的测量坐标系是固定不变的，但被测对象的空间位姿具有随意性，因此，实际测量坐标系与由人体对称特性定义的计算坐标系之间存在空间的平移和旋转关系。当用测量得到人体的离散3维表面数据来计算人体横截面厚度或宽度尺寸时，必须先对人体的对称轴面或人体横截面的对称轴线进行估计。一种简单的处理方法是对人体横截面数据进行最小二乘线性拟合^[1]，将拟合得到的直线的方向作为人体对称轴线的方向或与其垂直的方向，但这样处理有以下不足：缺乏严格的理论依据；最小二乘线性拟合算法不具备坐标系的旋转不变性^[2]；拟合的结果存在较大误差。本文利用转动惯量对于坐标系平移或旋转的不变特性，以及轴对称曲线在对称轴及其垂线方向取得极值的特性，提出一种用于求解轴对称曲线的对称轴的极小惯量数值计算方法。本文对算法原理进行了理论阐述，并进行了仿真和实验数据处理，验证了算法的正确性和有效性。

1 极小惯量算法原理

极小惯量算法的理论依据是平面轴对称对象的转动惯量在对称轴及其垂直方向取得极值。

众所周知，曲线以直线为轴（如图1所示）的转动惯量为，其中，为曲线上点到直线的距离，为线密度，设质量均匀分布，即为常量。极小惯量特性可用下面定理准确表述：

定理：假设函数在上连续可导，且关于轴对称，即，则在以或为转动轴时取得极值。（证明从略）

图1

图2

由于坐标轴的平移或旋转对刚体的转动惯量没有影响，因此对于任意放置的对称曲线（如图2所示），可以通过求它的转动惯量的极值对应的转动轴来求得它的对称轴方向。这就是极小惯量法求取轴对称对象的对称轴的基本思想。下面讨论已知曲线上离散点集条件下计算曲线对称轴的数值计算方法。

由给定的点集，用线段连接相邻各点，可得到曲线的近似表示，如图3所示。以直线为转动轴，曲线的转动惯量可用相对于直线的转动惯量近似，使取得极值的转动轴也就近似于曲线的对称轴或它的垂线。

图3

图4

折线段相对于直线的转动惯量，其中为第段线段相对于直线的转动惯量。先讨论图4所示线段相对于轴的转动惯量：

（1）

该线段的惯量可用质量集中于线段上某一点的惯量等效，考虑质量集中于一点后的转动惯量，不妨设，显然有，

（2）

令，解方程得到：

（3）

正负号可通过条件决定，对应值，有

. （4）

显然，点在直线上的相对位置也不会随坐标轴的平移或旋转而发生改变，因此根据点集可以用上面两式得到新的点集。这样，对于图3所示的每条线段的转动惯量可用下式计算。

（5）

其中，，即线段的长度。这样，转动惯量有

. （6）

求关于、的极值，得，则

， （7）

记，，上式可改写为

（8）

将上式代入式（6），记，，再对求偏导得到

（9）

令，记，，解方程得到：

（10）

显然，即与互相垂直，这和定理1得到的结论是相符合的。要确定其中哪一条是给定点集的对称轴，还需要利用其他先验知识才能确定，这在实际应用中通常是不难获得的。

综上所述，极小惯量法求点集的对称轴的算法步骤为：

（1） 用式（3）、（4）计算点集。

（2） 计算、、、、、、。

（3） 根据式（10）、（8）计算、、、，用其他先验知识确定对称轴线。

由于转动惯量与坐标轴的选择没有关系，该算法对对称轴的估计精度也就和点集的坐标轴的选择无关。

2 仿真研究

为了检验算法的有效性，作者进行了数字仿真研究。仿真中对一已知曲线人为加入较大的噪声，若计算结果和没加噪声的结果相近，说明算法是有效的，对噪声不敏感。

仿真用的离散数据来自参数曲线方程：

（11）

其中的取值范围，显然曲线关于轴对称。对曲线进行平移、旋转，并加入噪声，即进行如下变换：

（12）

取，，，根据均匀采样32个点。当没有加入噪声时，使用极小惯量法得到的直线为与，使用最小二乘法得到的拟合直线为，如图5所示，显然是曲线的对称轴线，斜率的估计误差为0.0025，而最小二乘拟合直线和对称轴线的垂线方向有较大偏差，不能用于计算对称轴线；加入的均布随机噪声，采样20次，得到的结果如下表所列：

均值	-3.7657	22.6953	0.2665	2.1175
标准差	0.2274	1.1443	0.0157	0.1458
均值误差	-0.0337	0.8666	-0.015	0.4745

其中一次得到的直线为与，如图6所示，斜率的估计误差为-0.1069。可以得出结论：使用极小惯量算法可以准确地估计了给定曲线的对称轴线。

3 实验数据处理

实验数据来源于一个实际的人体尺寸光学测量系统，采用相位测量轮廓术^[1,3]测量得到人体表面的3维数据。用该系统测量的一假人某一截面前向和后向的数据如图7中的两段曲线所示。由于测量系统的限制，体侧部分数据无法测量得到。出于模拟真人测量的目的，假人的空间放置与测量坐标系有一定偏差，假人横截面的对称轴线没有和测量系统的轴重合。人体尺寸测量标准规定的计算坐标系是以人体的对称面（矢状面）为基础定义的，要得到人体某一横截面的厚度，首先必须对该截面的对称轴线方向进行估计。图7中的两条直线是应用极小惯量法计算得到轴线